数学解题教学中的“授之以渔”

教师在数学教学中,真正教会学生思考,教会学生解决问题的方式,做到“授之以渔”。
下面以高一数学中讲解“含字母系数的一元二次不等式的解法”为例,谈谈个人的一些实际体会
本课的教学目的在于传授给学生分类讨论的数学思想方法,高一学生对高中数学学习还在适应过程之中,所选例题不宜过难,在对二次不等式解法简复习之后,引入例1“解关于x的不等式x2-(a1)xa<0”,讲解过程中应体现思维过程由浅入深,由整体到局部的一般顺序 (1)引导学生判断问题类型,不难看出这是一道和解一元二次不等式有关的题目。 (2)由此联想到解一元二次不等式的基本解题步骤化简——定根——给出解集,考虑先由此入手进行探索解决方案。由于不等式形式较为简单,不难通过因式分解得到“(x-1)(x-a)<0”的形式,则对应方程的根为a和1,至此,前两个步骤实施顺利。 (3)进行第三个步骤时,发现问题——虽然知道两根,也知道解集形状(两根之间),却仍然无法写出最终答案.引导学生究其原因,问题出在两根大小无法确定,解集具体形式也随之改变。因此想到对问题产生根源——两根a与1的大小展开讨论,最后分为“a>1,a<1和a=1”三种情况分别写出确定答案。最后指出上述解题过程中所用到的正是分类讨论的数学思想,其产生过程也就是在用常规基础方法解决新问题时出现新的难点,然后针对难点对症下药,解决难点的同时随之新方法产生。整个学习和讲解过程由于符合一般思维习惯,以基础知识为出发点,学习基本上是一个顺应过程,教师只需在关键处加以点拨,绝大部分学生可以自主完成,充分调动了学生的主观能动性。 对例1适当练习巩固之后,给出例2“解关于x的不等式x2ax1<0”,学生在自主探索问题的过程中不难发现例2和例1的不同之处 (1)在实施解一元二次不等式基本步骤时,开始化简,定根时便出现困难——无法因式分解。 (2)及时转换方法用判别式求根时有发现无法确定对应二次方程是否有根。究其根源,在于字母参数的介入使得对应二次方程的根的判别式的正负不确定; (3)因此,就二次方程根的判别式Δ进行讨论,分为“Δ<0,Δ=0和Δ>0”三种情况, (4)“Δ<0,Δ=0”两种情况不难得到其对应的特殊解集,对于“Δ>0”情况下所得到的两根,与学生探讨是否需如例1那样讨论两根大小,引导学生具体分析,发现此时两根的特殊形式使得两根之间大小已定,可写出确定答案,当然就无需讨论。 最后小结本课内容时,教师除了对含参数一元二次不等式的解题思路进行小结,同时在时间允许的情况下或紧接的练习巩固课时上,应结合例1和例2加以强调,应用分类讨论的数学思想解决问题时,切忌为了分类讨论而讨论。如果把分类讨论的思维过程说得轻松一点,分类讨论常常也只是在使用常规方法解题时,因无法避免出现多种可能性的时候所采取的一种“不得已而为之”的应对手段。遇上具体问题时不先入为主,应具体问题具体分析,充分利用已知条件,尽可能避免或简化分类讨论,实在需讨论时应弄清楚在哪一步出现分歧,以及引起分歧的真正根源,并就此根源展开讨论。整个运用过程中最能反映思维水平的是三个关节的把握,即“为什么讨论”,“什么时候讨论”和“讨论什么”,思维训练的重点也在于此。也只有真正了解了分类讨论思想的一般产生过程,才能使学生体会到良好思维习惯和基础知识的重性;使新的数学思想方法的诞生看起来不再像是从天而降,无源之水。通过帮助学生体验数学发现和创造的历程,来真正做到“有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断”,使学生在解决问题能力水平上产生质的提高。 类似的,其他数学思想方法的传授也应该充分体现它们产生的思维过程和方法本质,最后小结时应该尽可能适当指出其本质内涵。如“数形结合”思想,实质上就是对于同一事物有多种殊途同归的表现形式,那么在解决与之相关的问题中,如果从目前形式难以观察,则可以考虑人为把它变换至另一种形式以方便观察。同一关于方程的代数形式和几何反映正因为具有一致性,所以在两者之间的灵活转换观察角度,两者的完美结合,就产生了数形结合的巧妙思想。 数学不是脱离实际的解题,而是思维的体操,只有“授之以渔”的解题教学,才能真正体现了数学作为基础学科的特性,为个人以后的学习和生活以及各方面发展打下了坚实的思想基础。